Pareto Optimality

Dalam menangani sebuah permasalahan optimasi multi-tujuan (MCO problem), orang harus berhati-hati menerapkan prinsip optimalitas. Sudah barang tentu, prinsip optimalitas untuk menyelesaikan permasalahan dengan satu tujuan (single objective problem) tidaklah serta-merta dapat diterapkan di sini, apalagi mempertimbangkan kemungkinan adanya konflik di antara tujuan-tujuan tersebut.

Pareto optimality adalah sebuah konsep populer dalam menangani permasalahan tersebut. Sesuai namanya, konsep ini dikemukakan oleh Vilfredo Federico Damaso Pareto dalam bukunya yang terkenal Manual of Political Economy yang ditulis dalam bahasa Perancis tahun 1896, yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris tahun 1906. Dengan demikian, secara historis, buku ini merupakan referensi pertama dalam menentukan optimalitas dari sebuah permasalahan optimasi multi-tujuan.

Bagaimanakah konsep Pareto optimality itu ? Siapakah sebenarnya Vilfredo Pareto ?

Konsep Pareto Optimality

Menentukan optimalitas dari sebuah permasalahan optimasi multi-tujuan (MCO problem) tidaklah mudah, sebab harus memperhatikan semua fungsi tujuan yang ada.

Pareto menuliskan konsep mengenai optimalitas sebagai berikut, sebagaimana dikutip dalam bukunya yang berbahasa Inggris:

We will say that the members of a collectivity enjoy maximum ophelimity in a certain position when it is impossible to find a way of moving from that position very slightly in such a manner that the ophelimity enjoyed by each of the individuals of that collectivity increases or decreases. That is to say, any small displacement in departing from that position necessarily has the effect of increasing the ophelimity which certain individuals enjoy, and decreasing that which others enjoy, of being agreeable to some and disagreeable to others.

atau dalam bahasa yang lebih sederhana: 

An optimal allocation of resources is achieved when it is not possible to make anyone better off without making someone else worse off.

atau secara matematis:

x^* is termed Pareto optimal if and only if there exists no other feasible x such that f_i(x) \leq f_i(x^*), \, \forall i \in \{1, 2, \dots, n\} with at least one of them is f_i(x) < f_i(x^*) .

Konsep inilah yang kemudian dikenal sebagai Pareto optimality, dan solusi optimal yang ditemukan melalui konsep ini disebut (strong) Pareto optimum. Dikatakan weak Pareto optimum apabila

\nexists x, \, f_i(x) < f_i(x^*), \, \forall i \in \{1, 2, \dots, n\} .

Jelas bahwa (strong) Pareto optimum adalah juga weak Pareto optimum, namun tidak sebaliknya. Lebih lanjut, dikatakan x^* dominates x , yang dinotasikan sebagai x^* \succ x .

Tentu saja, pengertian di atas adalah untuk kasus minimalisasi. Sementara untuk kasus maksimalisasi, cukup dibalik tanda pertidaksamaannya.

Solusi optimal yang diperoleh bukan berupa satu titik melainkan kumpulan beberapa titik, yang kesemuanya memenuhi konsep Pareto optimality. Kumpulan titik-titik tersebut dinamakan Pareto set, atau disebut juga Pareto frontier, karena semua titik tersebut mendominasi titik-titik yang lain.

Sekedar ilustrasi, perhatikan gambar di samping. Gambar tersebut memperlihatkan titik-titik solusi dari sebuah permasalahan optimasi dengan dua fungsi tujuan. Titik C tidak termasuk Pareto frontier karena didominasi, baik oleh titik A maupun titik B. Karena titik A dan B tidak saling mendominasi, keduanya dimasukkan ke dalam Pareto set.

Siapakah Pareto ?

Pareto, yang bernama lengkap Vilfredo Federico Damaso Pareto, adalah seorang sosiolog, ekonom dan filsuf Italia. Lahir tahun 1848 di Paris dengan nama Fritz Wilfried Pareto dari ayah orang Italia dan ibu orang Perancis, berganti nama ketika balik ke Italia sepuluh tahun kemudian.

Pareto sendiri sebenarnya mendalami matematika dan literatur di the Polytechnic Institute di Turin, Italia, bahkan sempat bekerja sebagai insinyur guna mengaplikasikan kemampuan matematika yang dimilikinya. Tahun 1886, Pareto menjadi dosen di jurusan ekonomi dan manajemen di the University of Florence, Italia, sebelum keluar tiga tahun kemudian. Sejak saat itu, Pareto banyak menulis artikel yang menentang kebijakan ekonomi pemerintah Italia, sehingga dikenal sebagai kritikus yang aktif. Kegiatan ini seringkali menempatkannya dalam kesulitan.

Meski sering menulis artikel mengenai kebijakan ekonomi, Pareto sebenarnya tidak pernah mendalami ilmu ekonomi secara serius hingga usia 42 tahun. Selang beberapa tahun kemudian, tepatnya di tahun 1893, Pareto bahkan menggantikan gurunya, Walras, sebagai pimpinan di jurusan ekonomi, the University of Lausanne, Swiss. Publikasi penting yang dihasilkannya adalah Cours d’économie politique (1896-97), yang juga adalah buku pertamanya, yang ditulis ketika berusia 49 tahun. Buku ini kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris dengan judul Manual of Political Economy (1906). 

Selain konsep Pareto optimality, Pareto juga menghasilkan konsep lain, yang juga tidak kalah pentingnya, yakni Pareto’s law of income distribution, atau yang lebih dikenal sebagai Pareto distribution. Konsep yang diturunkan dari data-data penghasilan di Inggris ini menyatakan bahwa :

This law showed a linear relationship between each income level and the number of people who received more than that income. 

Beberapa tahun kemudian, Pareto kembali beralih dari ekonom ke sosiolog. Peralihan ini mencerminkan perubahan pandangannya mengenai bagaimana orang bertindak. Menurutnya,

men act nonlogically, but they make believe that they are acting logically

(terjemahan bebas: orang-orang bertindak di luar nalar, namun mereka percaya bahwa mereka bertindak dengan nalar).

Ada hal yang menarik di sini. Ketertarikannya dalam analisis keseimbangan (equilibrium analysis) di bidang eknomi dan sosilogi, ternyata dapat ditelusuri balik dan bermuara ke disertasi S3-nya yang berjudul The Fundamental Principles of Equilibrium in Solid Bodies !

 

Sumber :

http://wikipedia.org (dari berbagai artikel)
http://www.econlib.org/library/Enc/bios/Pareto.html

4 comments on “Pareto Optimality

  1. Tes penulisan formulasi matematika untuk sebuah komentar: x adalah variabel keputusan dari fungsi f_1(x) . Sementara untuk menuliskan array:
    \begin{array}{lcl} f_1(x) & = & \sqrt{x + 1} \\ f_2(x) & = & x^2 - 4x + 5 \end{array} .

  2. Ping-balik: Multicriteria Optimization Problem « Riset Operasi

  3. Ping-balik: Optimization « Riset Operasi

  4. Ping-balik: Riset Operasi untuk Demokrasi « Riset Operasi

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s